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2009.02.24

[統計]交互作用があるときー2つのサンプルへの直線回帰

 2つのサンプルで、説明変数xと目的変数yが測られているとき、xとyの間の関係式をどうあてはめるかという問題にはときどき遭遇する。正規分布&等分散では、よく教科書に出てくる問題で、複数のサンプルへの回帰式の当てはめだったり、回帰式の比較だったり、あるいは(正確には違うと思うが)共分散分析という名前で呼ばれていることもある。このケースは、交互作用とはなんだろうか?と考えるときの格好の練習場の1つである。
 それぞれのサンプルに別々の回帰式をあてはめる、共通(1つ)の回帰式をあてはめる、回帰式の一部のパラメーターは共通で一部はサンプルによってちがうものをあてはめる、といったことが可能である。直線回帰の場合には、最後の場合(つまり回帰式の係数のあるものは共通の値で、他のものはサンプルによりちがう値)としては、傾きつまりxの回帰係数は共通で、切片は異なるというのを考えるのが普通である。このとき、切片は高さと呼ばれることもある。
 一般線形モデル(正規線形モデル)や一般化線形モデルで考えると、サンプルの違いを表す説明変数(ここではfとする、サンプルは2つなので二値的変数)を使えば、
共通(1つ)の回帰式をあてはめる:説明変数はxのみ
傾きは共通で切片は異なる2つの回帰式:説明変数はxとfの2つ
 そして、
それぞれのサンプルに別々の回帰式:説明変数はxとfと(xとfの交互作用)の3つ
よいう対応関係になる。それぞれのサンプルに別々の回帰式をあてはめる場合、1つの回帰直線は傾きと切片という2つのパラメーターで決まるから、2本では合計4つのパラメーターが必要である。説明変数をxとfと交互作用の3つとしたとき、推定されるパラメーターはxとfと交互作用の3つについての回帰係数と定数項(つまり切片)の4つでつじつまがあっている。
 これをRで計算してみる(次項)。

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