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2008.07.16

[統計]分散の推定量

 分散(母分散)の推定に広く使われている不偏分散は、Σ{(データ)-(データの平均)}の2乗/(n-1)である。nはデータの個数である。nではなく(n-1)で割ることは統計を勉強するとかなり初めの方で出てくる知識だろう。不偏分散は、名前の通り、不偏な推定値なので、サンプリング→推定を(無限回)繰り返すと、不偏分散の平均は推定されるべき母分散と等しくなる。不偏であることは、推定の誤差が少ないこととは別である。推定の誤差を、推定されるべき母分散との差の二乗(平均二乗誤差)で評価してみると、またちがった様子が見える。
 たとえば、正規分布の場合、平均二乗誤差は、nで割った方が、(n-1)で割る不偏分散よりも小さい。(n+1)で割ったときが平均二乗誤差が小さいことが知られている(柴田義貞著『正規分布』4章2節など)。誤差を推定されるべき母分散と推定された値との差の絶対値で評価してみるとどうだろうか、と思っていくつかRで計算してみた。正規分布の乱数rnormや平均mean。絶対値absなどわずかの関数を使うだけのプログラムを書いて試してみると、(試した範囲では)(n+1)で割ったときが小さかった。

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