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2008.01.24

[統計]順序制約のある推論

 説明変数が順序尺度の変数というときには、説明変数に伴って目的変数の平均的な値が増えていく(あるいは減っていく)という傾向的な変化を対立仮説として考えたいということがよくおこる。たとえば、動物の攻撃性の強さを1,2,3,4,5という5段階で記録し、数字が大きい段階ほど攻撃性が強いのは確実だが、段階を表す数の差が等しくても(たとえば、1と3、3と5、いずれも差は2)、その違いは同じであるとは言えないとき、攻撃性は間隔や比率尺度でなく、順序尺度で測られているということになる。「攻撃性が強いとその個体の体重減少量は大きい」という仮設は、そういう傾向的な変化の対立仮説の例である。
 こういった対立仮説を表現するときに、説明変数のi番目の段階(一般的な用語としては水準だろうか)における目的変数の平均をμiとして、  
 μ1≦μ2≦μ3≦μ4・・・ただし、少なくともどこか一箇所では<が成り立っている
とすることがよくある。帰無仮説の方はμ1=μ2=μ3=μ4=・・・というわけである。目的変数が減少するような傾向的変化なら、 μ1≧μ2≧μ3≧μ4・・・ ということになるが、水準の番号をひっくり返して割り当てればいいので、μ1≧μ2≧μ3≧μ4・・・ と μ1≦μ2≦μ3≦μ4・・・ のどちらか片方だけ考えておけば十分ということになる。
 目的によっては、平均ではなく別の位置母数(たとえば中央値とか)を使いたいこともあるだろう。
(途中のj番目の水準における目的変数の平均が一番大きい場合、たとえば、μ1≦μ2≦μ3≦μ4≧μ5≧μ6≧μ7といったものをアンブレラ仮説ということがある)

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