［統計］Mann-WhitneyのU検定と”Efronのサイコロ”

　２個体のどちらが強いのかに比べると、２つのグループのどちらが強いのかははるかに複雑な問題である。２つのグループのどちらが強いかを決めたい時、総当たりで対戦してその勝率で決めるというのは決しておかしくないだろう。第１のグループが（Ａ，Ｂ，Ｃ）の３人、第２のグループが（Ｅ，Ｆ，G）の３人なら、３×３で９つの対戦をしてその勝敗で決めるわけである。たとえば、Aは相手のグループの３人（Ｅ，Ｆ，G）のそれぞれと対戦することになる。「一番強い個体同士の対戦」とか「真ん中の強さの個体同士の対戦」とか「それぞれのグループで順番（先鋒、副将、大将）を決めて３試合の出場成績」よりも全体を見ているだけよいような印象がある（最後の例に似たものは孫子［後の方］に出てくる）。
　広く使われているMann-WhitneyのU検定は、ちょうど総当たり対戦の考え方で、２つのサンプルのどちらの方が平均的には大きな値かを見る。第１のサンプルが（１、２、５）の３つのデータ、第２のグループが（３、６）の２つのデータなら、比較して大きい方が”勝ち”とすると、第１のサンプルは、１が0勝2敗、２も0勝2敗、５は1勝1敗だから、1勝5敗となる。第２のサンプルから見れば5勝1敗となる。この5と1がUである。U検定では通常の場合である両側検定の時は、サンプル数が決まっていれば片方のUの値がわかればもう片方もわかるので、Uのうち小さい方を検定統計量として使う。
　サンプルサイズをn1,n2として、”勝ち数”がn1・n2/2より大きい方を、平均的には大きいと考えることは理にかなっているように思える。だが、以下のような例を考えると、（場合によっては狭い）ある条件を満たしたときしかその印象は正しくないことがわかる。

　サンプルA：4.0、3.9、1.5
　サンプルB：3.2、3.0、2.8
　サンプルC：5.5、2.2、2.1

AはBに対して6勝3敗、BはCに対して6勝3敗、AはCに対して4勝5敗だから、（推移的ではなく）循環的になってしまい大小関係にはふさわしくない。
　これは”Efronのサイコロ”の例でもあり、U検定の仮定とも対応している。