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2007.12.27

[統計]GLMの交互作用-数値例と3次元の交互作用

 3つの説明変数(x1,x2,x3)と1つの目的変数(y1)からなる、以下の10個のデータ点を例としてみる(乱数で作成した仮想的なもの)。正規線形モデル(いわゆる普通の重回帰で、計算はR2.6.1でしてみた)で考えてみる。

  x1       x2        x3      y1
10.904732 13.411570 5.175551 18.83955
12.329137 8.514455 5.956906 23.57670
9.705621 10.552619 5.116896 20.22385
12.408564 10.345858 5.039443 13.44492
12.477303 8.429955 5.071569 22.74618
9.713946 11.562903 5.541890 25.57536
8.731251 9.179998 5.500887 22.24150
11.343812 8.210893 4.114083 24.07884
8.484146 7.093054 3.905116 23.58360
11.716928 2.608302 5.869322 21.85729

説明変数としてx1とx2およびその交互作用を入れたとき、
回帰式は、切片 -4.3753 x1: 2.5988 x2: 4.0601 交互作用: -0.3999
である。
 x1の代りにx1マイナス10を使うと、
切片21.61315 x1: 2.59885 x2: 0.06122 交互作用: -0.39989
で、x1と交互作用の回帰係数は変わらず、x2の回帰係数は変化して、その差は交互作用の係数の値×10で前項でおおまかに見たとおりになっている。他の場合も同様だが、一応やってみると、
 x2の代りにx2マイナス9を使うと(x1はx1のまま)、
切片32.1654 x1:-1.0001 x2: 4.0601 交互作用: -0.3999
となり、今度は、x2と交互作用の回帰係数は変わらず、x1の回帰係数は変化している。
  x1の代りにx1マイナス10を、x2の代りにx2マイナス9を、使うと、
切片22.16413 x1:-1.00012 x2: 0.06122 交互作用: -0.39989
で、交互作用の回帰係数だけは変わらないが、x1もx2も回帰係数が変化している。
 
 さて、ここまでは説明変数2つだった。説明変数が3つあるときには、2つの説明変数の間の交互作用とともに、3つの説明変数間の交互作用(以下、3次元の交互作用)が出てきて、これがなかなかイメージしにくい。2説明変数の結果から考えると、1つの説明変数の値が定数だけ変化すると、主効果と交互作用がみな入った回帰式では、のこりの2つの説明変数の回帰係数(主効果)とのこりの2つの説明変数間の交互作用の回帰係数で、合計3つの回帰係数の値が変わるだろうと想像がつく。

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