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2007.12.26

[統計]GLMの交互作用-続々

 前項の、説明変数2つの(しかも正規線形モデルを念頭においた)、そのうえ決定論的なところだけに注目したものでも、「2つの説明変数の値の積を新しい説明変数にしたものが交互作用」という取り扱いをしたときの、交互作用と検出されるものの挙動はある程度わかる。
  やはり、説明変数はx1とx2とし、目的変数をyとする。2つの説明変数に加えて、交互作用として積の項が入った場合には、決定論的な式は以下のように書ける、

(y-my)=d1(x1-m1)+d2(x2-m2)+d3(x1x2-m12)

となる。m1はx1の、m2はx2の、myはyの、m12は(x1かけるx2)の、それぞれ平均である。
 x1=w1+c1、x2=w2+c2とすると、上の式は、w1の平均をa1、w2の平均をa2、(w1かけるw2)の平均をa12として、

(y-my)=d1(w1-a1)+d2(w2-a2)+d3{w1w2-a12+c2(w1-a1)+c1(w2-a2)}

となるわけだが(ここまでは前項と同内容)、変形すると、

(y-my)=(d1+d3・c2)(w1-a1)+(d2+d3・c1)(w2-a2)+d3(w1w2-a12)

となる。ここから、説明変数の値が定数だけ変化すると、交互作用の回帰係数は変わらないが、”もとの”説明変数の回帰係数(いわば主効果)は変わるだろうということがわかる。「”もとの”説明変数も組み込んでいるが交互作用だけが問題で”主効果”はどうでもいい」ということはあまりないだろうから、説明変数が全部、比率(比)尺度でそろってはいなくて、中に間隔尺度であっても比率尺度ではないものがまじっていたりするときには要注意といえそうである。また、片方の説明変数の値だけが定数だけ変化して、もう片方の説明変数の値は変わらない場合には、定数だけ変わった方ではなく変わらなかった方の説明変数の回帰係数が変化するらしいこともすぐわかる(数日以内にいま手元にある数値例を載せるつもりです)。
 こんな関係が成り立つのは2つの説明変数と交互作用(積として)がはいっている場合で、片方の説明変数&交互作用(積として)とか交互作用(積として)だけ、といった場合にはそうはならない。
 

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