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2007.07.30

[その他]Efronのサイコロ

 二人の人がそれぞれ1つずつ立方体(以下、サイコロ)を持っていて、6つの面にはそれぞれ数字が書いてあるとする。二人のサイコロを振って出た目(上になった面に書いてある数字)が大きい方が勝ちというゲームを考えてみる。6つの面に[1,2,3,4,5,6]とあるサイコロを二人とも持っているなら、どちらが勝つ確率も0.5である。
 6つの面の数字が[1,2,3,4,5,6]でなくてもいいなら、二人の片方が圧倒的に勝ちやすいというケースを考えるのは容易である。たとえば、たとえば、Aという人が[1,1,1,2,2,2]、Bという人が[4,4,4,3,3,3]なら、もちろんBが必ず勝つ。また、Aが[1,1,1,2,2,2]、Bという人が[0,0,4,4,3,3]なら、Bが勝つ確率の方が高く2/3である。
 では、AがBよりも強く(ここでは、強いとは相手との対戦で0.5を超える確率で勝つことをさす)、BはCより強いなら、AとCの対戦ではAの方が強いだろうか(もしそうなら、推移的であるという)。反例はすぐに見つかる。ブートストラップで有名な統計学者のEfronは、4つ(AとBとCとD)の間での反例を示したことでも知られている。たとえば、[0,0,4,4,4,4]、[3,3,3,3,3,3]、[2,2,2,2,6,6]、[5,5,5,1,1,1]である(マーチン・ガードナーの『アリストテレスの輪と確率の錯覚』所収)。
 以前、動物の行動で、そんな風に非推移的なケースはないかと考えたことがある。そのときは思いつかなかった。

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