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2006.09.12

[統計]プロファイル尤度

 関心のないパラメーターを消して尤度の表現を簡単にすることは、最尤法まわりでわりあい大切である。いくつかの方法が考えられており(どの方法でうまくいくかは場合による)、REMLで出てきた周辺尤度もその1つである。
 プロファイル尤度(profile likelihood)は、関心のないパラメーター(局外母数)を尤度を最大化する値で置き換えてしまうことにより式から消してしまうものである。よく使われているが、プロファイル尤度でうまくいかないこともある。(Neymanが50年くらい前に考えたものなど、うまくいかない例がいろいろ考えられている。)
 たとえば、同じものを2回ずつ測るという例を考えてみる。ものは全部でn個あり、i番目のものの真の値はμiとする。測定値はどのものを測った場合も分散が等しくσ^2である正規分布にしたがうとする。ここで、σ^2を知りたいとする。つまり、現実の問題風に書き直してみると、n個のものをそれぞれ2回ずつはかることにより、その測定方法の測定誤差を知りたいといった場合である。
 i番目のものを測った2つのデータをそれぞれyi1とyi2とすると、対数尤度は、logL=-nlog(2π)-nlog(σ^2)-(1/2σ^2)∑{(yi1-μi)^2+(yi2-μi)^2}となる。あるσ^2のもとでは、μiが(yi1+yi2)/2のとき対数尤度は最大になる。これを対数尤度の式に代入しておき、σ^2だけ(がパラメーター)の式にしておく。今度はそれを最大にするσ^2の推定値を求めると、∑(yi1-yi2)^2/4nとなり、nが大きくなるとなんとσ^2/2になって(収束していく)しまう。
 もちろん、これは例なので、こんなときには、(yi1-yi2)を変数とみて(ここではDiとする)確率モデルを書けば、対数尤度を最大にするσ^2の推定値を求めると、∑(yi1-yi2)^2/2nとなり、nが大きくなればσ^2になる。


(加筆したあとの時刻に変更しました)

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